什么是同类二次根式(什么是同类二次根式举例)

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二次根式是初中数学的一个大难点,在数式相关的题型中,含二次根式的题是同学们感到比较头疼的,特别是其综合解答题的正确率也比较低;二次根式涵盖知识点多,解答的技巧性强;不但在代数中占据很重要的位置,而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用,二次根式很能考查同学们在初中阶段的数学核心素养的;下面分ABCD四个部分,通过鲜活实例,加强对二次根式的学习、巩固与提升,让我们一起来探究.


什么是同类二次根式(什么是同类二次根式举例)-第1张图片

A、基础知识梳理


1、有关概念:


⑴、二次根式:形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式;


⑵、最简二次根式:满足”被开方数是整数或整式且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”的二次根式,叫做最简二次根式;


⑶、同类二次根式:被开方数相同,根指数也相同(都为2)的二次根式叫做同类二次根式。


2、重要公式(性质):


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3、规律总结


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(3)、二次根式加减运算的一般步骤是:①将各二次根式化为最简二次根式;②找出同类二次根式并将其合并。


(4)、在进行二次根式的混合运算时,应注意:⑴、原先学习的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用;⑵、计算时应合理确定运算顺序,并且每一步都要有依据。


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B、基本运算突破


二次根式的运算可以说是前面学过的二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用,也是本章内容的落脚点,是前面几节内容的总结,在进行二次根式的运算时,请同学们还要注意以下几点:


1、注意运算顺序问题


二次根式的运算顺序与实数中的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的.


2、注意运算法则问题


在运算过程中,每个根式可以看作是一个”单项式”,多个不同类的二次根式可以看作”多项式“,因此实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律),所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二次根式的运算中仍然适用.


3、注意熟练进行二次根式计算和化简


在理解二次根式基本概念基础上,掌握好二次根式的重要性质多做一些练习,就能达到熟练计算和化简二次根式的目的,除此之外还要掌握一些方法技巧.


C、常用方法技巧


在二次根式运算中,有很多学生感到厌烦。步骤复杂,用了很长时间,结果又不对,原因之一他们没有找到运算中的技巧。下面就其运算方法与技巧举例说明如下。


一、巧移因式,避繁就简


二、巧提公因数,显山露水


三、实施配方,简洁明快


四、整体代入,多快好省


五、造零等式,另辟蹊径


【点评】本题考查二次根式的化简求值,解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题,属于中考常考题型.


D、最新考题赏析


近年中考试题中新题型不断涌现,这类问题给出一些新情境,设置一些新问题,要求学生通过阅读理解发挥应变能力和创新能力来解答试题,可以全面考查学生综合素质,这些试题已成为中考试题中的一道靓丽的风景.现举几例与大家共赏。


一、程序运算型


点评:以”数值转换机”的形式考查实数的运算,形式新颖.这类题目不仅考查学生基础知识的掌握情况,而且可以考察学生的综合能力.


二、估算型


点评:新课标要求:能用有理数估算一个无理数的大致范围,估算的方法很多,可以采用平方法,作差法等等.


三、探索规律


所谓探索规律就是要通过由特殊推广到一般,并经过大胆地猜想、归纳和验证,从而获得正确的结果.


【点评】本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.以观察探索归纳猜想为形式的新颖题脱颖而出,此类问题的设置有利于考查学生的创新意识和独立解决问题的能力,有助于引导学生在平时的学习过程中进行自觉的探索


四、新定义运算


定义的新运算,实质是给出了一种变换规则,以此考查学生的思维应变能力和演算能力.解这类题的关键是深刻理解所给的定义或规则,将它们转化成我们熟悉的运算


【分析】(1)根据新定义运算法则即可求出答案.


(2)根据新定义运算法则即可求出答案.


(3)根据定义化简原式后即可求出a²b² ab的值.


点评:本题考查学生的阅读理解能力,解题的关键是正确理解新定义运算法则,本题属于基础题型.


题中在一定前提条件下,定义了不同的新运算,计算时,应看清条件,分别计算.


五、阅读理解:


例5、阅读材料:


值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是PA PB的最小值.


设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA PB的最小值,只需求PA′ PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′ PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以A′B=3√2,即原式的最小值为3√2.


根据以上阅读材料,解答下列问题:


∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,6)、点B(6,2)的距离之和,


如图所示:设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,


∴PA PB的最小值,只需求PA′ PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,


∴PA′ PB的最小值为线段A′B的长度,


∵A(0,6),B(6,2),∴A′(0,﹣6),A′C=6,BC=8,


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