圆锥的表面积公式(圆锥侧面积计算公式)

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圆锥的表面积公式(圆锥侧面积计算公式)-第1张图片

一.概念描述


现代数学:认识侧面积前我们要先认识侧面:两底之间的柱面部分称为侧面。


侧面积的定义则为:


①立体图形的侧面展开图的面积(以区别于底面积);


②物体的侧表面或围成的图形表面的大小,叫作它们的侧面积。


涉及侧面积的几何图形包括直柱体和棱柱。


其中,直柱体是一种立体几何图形,指的是柱体上、下两个端面平行,且柱体素线垂直这两个端面。比如圆柱、正棱柱体。计算直柱体侧面积的通用公式为:S=Ch。


棱柱是特殊的多面体,分为直棱柱和斜棱柱。直棱柱的侧面积定义为:刻画直棱柱侧面大小的一个数量及其计算公式,直棱柱各侧面面积之和称为直棱柱的侧面积。直棱柱侧面展开图的面积就是它的侧面积。如果直棱柱的底面周长是C,高是h,那么它的侧面积是:S=Ch。


侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱,斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的乘积。


小学数学:关于侧面积,小学数学各版本的教材都没有明确的定义,主要是通过研究直棱柱的表面积时认识其侧面展开图并研究其侧面积。研究侧面积一般要结合具体立体图形才有意义,小学中常见于长方体,正方体和圆柱。


长方体和正方体的侧面积,要依据长方体,正方体的摆放而定,通常把长方体、正方体前、后、左、右四个,面的总面积叫作它们的侧面积。长方体的四个侧而一般都是长方形,也可能有两个相对的面是正方形;正方体的四个侧面都是正方形。沿长方体或正方体的一条侧棱将它的侧面剪开并展开,把各侧面平放在一个平面上,就得到它的侧面展开图。其侧面展开图是一个长方形,长方形的长、宽分别是长方体或正方体的底面周长和高。圆柱的侧面积,就是圆柱曲面的面积,也就是将圆柱去掉上、下两个底后,剩下的圆筒展开的图形面积叫圆柱的侧面积。把直圆柱的侧面沿它的一条高剪开后展开放在平面上,就得到它的侧面展开图。这是一个矩形。矩形的两边长分别是圆柱的底面周长和高。


二.概念解读


小学阶段重点研究了长方形、正方形、平行四边形、 三角形、梯形、圆这六个平面图形的面积,它们是研究侧面积的基础。单纯侧面积在数学中解读的意义并不大,只是在研究直棱柱的表面积时,会研究侧面积以及底面积。其实,长方体、正方体的侧面积就是四个平面图形面积的和;圆柱的侧面积可以利用矩形面积公式计算;对于圆锥,将其沿着母线剪开,


得到圆锥的侧面展开图—扇形,可利用扇形面积公式计算。


中学阶段会陆续研究圆锥侧面积以及圆台、棱台的侧面积等,还有一些不规则几何体的侧面。由于用途较少,这里不再赘述。


三.教学建议


(1)侧面积教学的分析


关于侧面积的教学,小学只涉及了直柱体的侧面积.并未涉及圆锥及棱锥的侧面积,且不同学段有不同的要求。2011版《课标》要求学生第一学段“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱等几何体”。,这里只停留在“辨认”、“感知”阶段,很多老师通过让学生看侧面、触摸侧面等方法,充分感知、辨认侧面。第二学段学生将重点研究长方体、正方体和圆柱的侧面积。到了第三学段,则要求学生“了解其中一些几何体的侧面展开图”。直柱体的认识是发展学生空间观念的重要组成部分,对侧面积的深刻理解有助于学生建构知识,发展空间观念。关于侧面积的教学,也是仁者见仁,智者见智,但大多还是让学生在观察、交流、操作等活动中,采取“体验式”教学,经历直柱体侧面展开图的过程。


(2)侧面积教学的建议


多数老师是这样进行侧面积教学的:课前让每组准备长方体,正方体、圆柱体、三棱柱、四棱柱、六棱柱等几种不同的直柱体实物模型,学生每人准备一个手工制作的空心直柱体。整节课分为三个层次:


①认识直柱体,感知什么是侧面。


上课时,教师可以先让学生仔细观察这些立体图形,进行认真比较,然后按要求做:首先,指出这几个立体图形的底面,并涂上颜色;之后,说一说上、下两个底面有什么共同特征?(这些立体图形上下两个底面完全一样)最后,让学生认识每个立体图形除了上、下两个底面之外,其余的面都是侧面,并用手摸一摸侧面,发现这些侧面的共同特点。从学生的讨论、交流中,教师要及时捕捉信息,引导学生感知、认识侧面,从而知道“直柱体上、下两底面相等,从上到下一样‘粗’”。


②了解直柱体的侧面展开图。


教师可以先让学生猜一猜,用剪刀沿任意一个直柱体的高将侧面剪开,会得到什么图形?学生纷纷进行猜测,有的说“长方形”,有的说“正方形”,有的说“平行四边形”。之后,让学生操作验证,得出“沿任意一个直柱体的高将侧面剪开,都会得到一个长方形”。


圆锥的表面积公式(圆锥侧面积计算公式)-第2张图片

③认识直柱体的侧面积


教师可以让学生先在组内交流“直柱体的侧面和这个长方形之间有什么联系”,从而得到:长方形的长就是直柱体的底面周长,宽就是直柱体的高,因为长方形的面积=长×宽,所以这些直柱体的侧面积都可以用“底面周长×高”计算。


以上教学设计,给学生提供了充分的实践机会。学生通过动手操作,在“化曲为直”的变化中,发现直柱体侧面和平面图形之间的联系,理解侧面积的计算方法。


四.推荐阅读


(1)《初中数学当用辞书》(鲁安,沈阳出版社,1998)


该书第二部分介绍了立体图形侧面积的含义。


(2)《中学几何词典》(陈家骏、何刚、林而立,中国人民公安大学出版社,1998)


该书第一章基本概念中介绍了侧面积的定义。


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